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第一百三十二章 這位同學,你來講講吧

“本科階段的泛函分析我們以學習線性泛函分析分析為主,非線性泛函分析一般要等到研究生階段才開始學習。線性泛函分析主要內容,歸納起來,就是我們常說的一王一后以及四大天王。一王一后就是貝爾綱定理和Hahn-Banach定理,四大天王分別是開映射定理,閉圖像定理,Banach-Steinhaus定理,閉值域,Mazur定理……”
  
  這是一堂復習課,那老師也不多話,直接在課堂上開講:“今天,我們就從一王一后以及四大天王入手,梳理本學期所學過的相關知識點,包括閉算子的譜分析,對稱算子的自伴延,算子半群理論,線性單調算子,算子代數……”
  
  龐學林在座位上打了個哈欠,他居住的那個招待所隔音效果一般,昨晚沒睡好,這幾天又一直在趕路,他著實有些累了。再加上老師講課時還帶了部分方言口音,語氣不溫不火,雖然講的內容沒什么問題,但還是讓人感覺犯困。
  
  龐學林不知不覺閉上了眼。
  
  也不知過了多久,龐學林突然被一陣喧鬧聲吵醒。
  
  他有些茫然地睜開眼,便發現教室里不少學生正用戲謔的眼神看著自己。
  
  講臺上,那位禿頂教授正朝自己所在的方向說話:“那位穿軍綠大衣的同學,上課時間睡得這么香,看樣子你應該什么都會了吧,你過來過來,幫我解一解這道題……”
  
  龐學林環顧四周,然后有些茫然地指了指自己:“老師,我嗎?”
  
  “對,說的就是你!快點上來,幫我把黑板上這道題解了……”
  
  “老師,我不是……”
  
  “你上不上來?不上來的話就給我出去,不過你這門課也別想考了。”
  
  “這……好吧!”
  
  龐學林猶豫了片刻,還是選擇起身。
  
  他原本想著等下課之后找這個教授套套話,問一下幾大期刊的地址。
  
  現在如果直接出去,那可真把人家給得罪了。
  
  龐學林走上講臺,眾人這才看清楚他那一身裝扮。
  
  一身破舊的軍大衣,里面隱約可以看到黑色的棉布襖,布襖領子口的線頭掉了,露出小半截棉花。
  
  他腳上踩著一雙黑布鞋,但幾天趕路下來,原本漿洗干凈的布鞋早就變臟兮兮不成樣了。
  
  這個年代,大學生還是天之驕子,就算家里再窮,也有幾身用來對換的體面衣服。
  
  如果不是龐學林本身氣質形象都不錯,就他這副衣著打扮,早就被人當做是農村出來的盲流了。
  
  “這人是哪班的啊?以前怎么沒見過,這身打扮夠可以啊!”
  
  “老王的課都敢睡覺,這家伙膽子真大。”
  
  “我估計他已經放棄臨時抱佛腳的念頭了,泛函分析太tm難了,老王講課口音又重,我都犯困想睡覺了……”
  
  ……
  
  臺下的學生們議論紛紛,一個個好奇地看著龐學林。
  
  王崇慶看著龐學林的裝扮,皺了皺眉,說道:“同學,這道題,你來解吧!”
  
  龐學林點了點頭,看著黑板上的題目。
  
  【設E,F是兩個Banach空間,令A:D(A)??E→F為一個閉算子,且D(A)??=E。求證:D(A??)??σ(F′,F)=F′D(A??)??σ(F′,F)=F′。
  
  其中A??是A的伴隨算子,F′是F的對偶空間,σ(F′,F)為F′上的弱*拓撲,D(A??)??σ(F′,F)表示D(A??)在弱*拓撲σ(F′,F)下的閉包。】
  
  將題目瀏覽完,龐學林幾乎沒怎么思考,直接開始在下面寫下答案。
  
  【結論1:設F是E的子向量空間滿足F??≠E.則存在f∈E'不為0,使得(f,x)=0,??x∈F。
  
  結論2:設??:E′→R是線性映射,且對拓撲σ(E′,E)連續,則存在x∈E使得??(f)=(f,x),??f∈E′。
  
  證明:設??是F′上對拓撲σ(F′,F)連續的線性泛函,在D(A??)上取值為0。由結論1,為證弱*拓撲下的稠密性,只需證明??≡0。
  
  由結論2,存在x∈F使得……】
  
  龐學林的書寫速度很快,整個證明過程幾乎沒怎么停頓,只用了不到兩分鐘,就完成了答題工作。
  
  “老師,答完了,應該沒什么問題吧?”
  
  王崇慶有些出神,這道題在泛函分析中,算的上是壓軸大題了,對本科生而言,有一定難度。
  
  他原本都準備等龐學林答不出來的時候,再好好教訓他一番,可沒想到到這家伙的基礎似乎還不錯,竟然眨眼間就給出了證明。
  
  無論是證明思路還是過程,都簡潔明了,幾乎無懈可擊。
  
  臺下,也響起了學生們的議論聲。
  
  “這家伙到底是誰啊,深藏不漏呀!”
  
  “這道題我一直沒什么思路,沒想到他竟然這么快就給解出來了。”
  
  “看樣子我們數學系牛人還挺多的。”
  
  ……
  
  不少人紛紛將目光聚焦到龐學林身上。
  
  王崇慶臉色微沉,上課睡覺,就算成績再好也不行,他可不想輕易放過這家伙。
  
  他想了想,說道:“這位同學,看來你的基礎不錯,那你就給大家講講,你對泛函分析這門課的理解吧。”
  
  泛函分析本質上屬于高度抽象化的一門課程,這也是它難學的原因,就算讓一位博士上臺,也不一定能完完整整地將自己對這門課的理解描述出來。
  
  王崇慶嘴角微微翹起,他可不相信一個本科生有這樣的能耐。
  
  “老師,你確定……讓我來講課?”
  
  龐學林笑了起來。
  
  “確定!”
  
  王崇慶隱隱感覺到對方的笑容中有點詭異,不過他還是點了點頭。
  
  龐學林道:“既然如此,那我就從泛函分析這門課的歷史開始說起吧。”
  
  “眾所周知,泛函分析這門學科誕生于20世紀的初期,本身是數學發展中公理化的一個結果。也就說,數學家希望實現分析學的公理化。同樣的公理化運動也出現在幾何和代數上。現在的泛函分析已經變成一個龐然巨獸了,特別是把它和調和分析放在一起的時候,很難分清楚什么叫做調和分析,什么叫做泛函分析。不過我接下來要講的不是為了搞清楚它的定義,而是關注它的基礎和未來的發展趨勢。”
  
  “我們首先討論一些早期的抽象分析,尤其是數學家如何將一個特殊的例子擴大化,使之成為一般意義上的定理。我們的討論主要涵蓋以下內容。一、Fredholm,Hilbert關于積分方程的工作;二、Volterra和Hadamard關于動量問題的研究;三、Lebesgue,Frechet和Riesz在抽象空間上的工作以及最后,Hahn和Banach關于對偶這個概念的研究……”
  
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